Axiome
von Reinhard Gobrecht (gobrecht)

 

Ein philosophischer Beitrag

Axiome sind Wahrheiten, die man auswählt. Sie bekommen innerhalb eines Systems eine privilegierte Stellung. Man wählt also ein System, eine Gesamtheit aus, diese Gesamtheit muss dann konstant gehalten werden, und darf nicht nach Belieben geändert werden, da ansonsten eine illegitime Gesamtheit entstehen würde, siehe unten.

Axiome sind Wahrheiten welche innerhalb eines bestimmten Systems nicht bewiesen werden. Axiome sind Anfänge innerhalb eines Systems, die eines Beweises nicht bedürfen, daher kann es keine falschen Axiome geben. Eine Aussage, deren Wahrheit zweifelhaft ist, kann man nicht als Axiom anerkennen. (Wenn die Aussage falsch ist, ist sie kein Axiom, wenn sie richtig ist, aber zweifelhaft, bedarf sie eines Beweises und ist deshalb kein Axiom.)

Nicht jede Wahrheit, die keines Beweises bedarf, ist ein Axiom, denn nicht jede einfache, einsichtige Wahrheit, nicht jedes Prinzip wird als Axiom ausgewählt. Die Auswahl eines Axioms ist vom System abhängig, und andere einfache Wahrheiten können in diesem System dann bewiesen werden. Eine Wahrheit kann in einem System ein Axiom sein, in einem anderen System nicht. Wenn man ein Axiom auswählt, dann hat es eine privilegierte Stellung und kann nicht auf sich selbst angewendet werden. (Selbstreferenz führt zu Paradoxien.)

Betrachten wir ein Beispiel. Wenn ich den Satz vom ausgeschlossenen Dritten (Tertium non datur) als Axiom auswähle, dann kann ich ihn, wie ein Schema, auf alle Sätze der Objektsprache innerhalb meines Systems anwenden. Der Satz besagt: „Jeder Satz des objekt-sprachlichen Systems ist entweder wahr oder falsch“. Ich kann das Axiom aber nicht auf sich selbst anwenden, denn dann besagt es, dass der Satz vom ausgeschlossenen Dritten entweder wahr oder falsch ist; damit stelle ich das gewählte Axiom dann selbst in Frage und gerate in einen Zirkel, denn ich habe das Schema auf sich selbst und nicht auf einen objektsprachlichen Satz angewendet. Statt Schema kann man auch Prinzip sagen.

Ein Prinzip (Axiom) kann nicht durch eine äußere Prämisse bewiesen werden, denn ein Axiom ist innerhalb eines Systems ein Anfang. Anfänge haben keine Vorgänger. Ein Anfang ist eine unvermittelte Prämisse. Während ein Beweis Wahrheit überträgt und vermittelt, ist ein Axiom eine unvermittelte Prämisse. Wenn man dafür sorgt und genau festlegt, auf welche Gesamtheit man ein Axiom anwenden will, dann kann das Ganze erfolgreich gelingen, legt man aber die Gesamtheit nicht genau fest oder nimmt sogar das Axiom selber zur Gesamtheit mit hinzu, dann hat man eine sogenannte illegitime Gesamtheit, die zu Problemen wie Zirkelbildung und Selbstreferenz führt. Man sollte also illegitime Gesamtheiten vermeiden. Das Prinzip hierzu heißt auch Zirkelfehlerprinzip.

Logik in der Mathematik und Logik in der Philosophie liegen nicht sehr weit auseinander. Ein logisches System in der Philosophie könnte sich z B. auf einen bestimmten Kontext beziehen. Verschiedene Kontexte, gehören dann verschiedenen logischen Systemen an, und in ihnen gelten unterschiedliche Axiome. So ist es ja auch in der Mathematik, wo man mit arithmetischen Axiomen keine geometrischen Theoreme beweisen kann.

Wenn man als Axiome Wahrheiten auswählt, deren Gegenteil nicht möglich ist, bekommt man nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten eine notwendige Wahrheit. In diesem Fall sind Axiome wie archimedische Punkte. Der archimedische Punkt hat seinen Namen, nach der Überlieferung, von der Aussage des Archimedes: „Gebt mir einen festen Punkt, und ich hebe die Welt aus den Angeln.“ Ein archimedischer Punkt, ist ein fester Ausgangspunkt, ein Basispunkt, auf dem man aufbauen kann.

In einer Logik könnte man die Axiome als archimedische Punkte bezeichnen. In der Philosophie ein Prinzip, eine Anfangswahrheit, auf der man innerhalb eines Kontexts, aufbauen kann. Descartes suchte z. B. nach so einem sicheren, invarianten und unerschütterlichen Punkt, und formulierte: Es ist unmöglich gleichzeitig zu denken und nicht zu existieren. Wenn man von einer Wahrheit ausgeht, deren Gegenteil unmöglich ist, hat man einen archimedischen Punkt. Man muss aber den Kontext beachten bzw. bestimmen, d. h., man muss beachten oder festlegen, wie weit dieser Punkt der entsprechenden Wahrheit reicht. Denn schließlich kann man auch nicht mit geometrischen Axiomen eine arithmetische Wahrheit beweisen.

In der Mathematik verwendet man je nach Kontext verschiedene Axiome. So z. B. in der Arithmetik die Peano Axiome, in der Algebra, z. B. in der Gleichungstheorie die Axiome der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. In der Mengenlehre z. B. das Auswahlaxiom und das Unendlichkeitsaxiom. In der Geometrie z. B. das Archimedische Axiom und in der Logik z. B. die Euklidischen Axiome: (a) Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. und (b) Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.

Weiterführende Literatur:
-Descartes: Meditationen über die Grundlagen der Philosophie, Meditation II, Nr. 1-2
-Frege: Logik in der Mathematik (Die Axiome) in Schriften zur Logik und Sprachphilosophie
-Whitehead / Russell: Principia Mathematica, Kapitel 2, Nr. 1

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